Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Министерство образования и науки Луганской Народной Республики

ГБПОО ЛНР «Штэровский энергетический техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого урока

по дисциплине ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач

Тема: Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

г. Миусинск, 2026

Специальность: 13.02.12 Электрические станции, сети, их релейная защита и автоматизация

Дисциплина: ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач.

Продолжительность урока: 45 мин.

Тема урока: Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Тип урока: Изучение нового материала.

Вид урока: Лекция, решение задач.

Цели:

Образовательная: познакомить обучающихся с понятием комплексного числа, научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел.

Развивающая: выработать умения и навыки использования изученного материала, сформировать умения решать упражнения по данной теме.

Воспитательная: воспитать навыки самостоятельной деятельности, настойчивость в достижении конечных результатов, умение работать в команде.

Методы обучения: словесные, наглядные, практические.

Форма обучения: индивидуальная, групповая.

Средства обучения: интерактивная доска с проектором, ПК, презентация к занятию, раздаточный материал.

Формируемые общие и профессиональные компетенции:

ОК 1. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам.

ОК 2. Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.

ОК 4. Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 5. Грамотно излагать свои мысли и оформлять документы по профессиональной тематике на государственном языке, проявлять толерантность в рабочем коллективе.

ПК 1.2. Измерять нагрузки и напряжения в различных точках сети, выбирать сечения проводов ВЛ и КЛ, производить расчет районных и местных эл. сетей в различных режимах работы, выбирать способы регулирования напряжения в электрической сети.

Ход урока:

I. Организационный момент: (2 мин)

1.1. Взаимное приветствие.

1.2. Проверка отсутствующих.

1.3. Выдача раздаточного материала.

II. Сообщение темы, цели и основных задач урока (Слайд 2)

III. Актуализация опорных знаний обучающихся (Слайд 3)

Повторение множества чисел

Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Простейшим числовым множеством является множество натуральных чисел

N= {1; 2; 3….}. В этом множестве всегда выполнимы сложение и умножение, т. е сумма и произведение двух натуральных чисел будут всегда числом натуральным.

Но в этом множестве не всегда выполнимо вычитание. Например, 3-5 не является числом натуральным. Поэтому, чтобы действие вычитание было выполнимо всегда, множество натуральных чисел расширили, присоединив к нему числа целые, отрицательные и ноль. Получили множество целых чисел Z= {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; …}

Однако в этом множестве деление осталось выполнимо не всегда. Потребовалось новое расширение множества целых чисел за счет присоединения к нему чисел дробных. Получили множество рациональных чисел Q = 7/10, -0,5, 2,35, -8/1.

Это множество является настолько плотным, что даже два его рядом стоящих числа мы записать не можем.

Но извлечение корня потребовало введения иррациональных чисел (числа, которые нельзя представить в виде дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби, например, число ). Объединение рациональных и иррациональных чисел составило множество действительных чисел R.

Однако извлечение корня четной степени из отрицательного числа и в этом множестве выполнить было нельзя. Для того чтобы можно было решать уравнения вида или были введены новые числа, которые получили название комплексных чисел.

Выполнить задание №1 рабочего листа.

IV. Мотивация учебной деятельности (Слайд 4)

Изучение темы «Комплексные числа» студентами специальности «Электрические станции, сети, их релейная защита и автоматизация» имеет практическое применение. Комплексные числа используются при изучении дисциплины «Электрические сети» для нахождения токораспределения мощностей. При изучении «Теоретических основ электротехники» расчеты цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами в различных формах.

V. Изучение нового материала (Слайды 5-8)

План урока:

1. Понятие комплексного числа. Различные формы комплексных чисел.

2. Правила действия над комплексными числами в алгебраической форме.

3. Работа с рабочими листами.

Теоретический материал:

• Понятие комплексного числа

Основные определения и соотношения для комплексных чисел:

Выражение вида называют комплексным числом, где a и b – действительные числа, а i мнимая единица.

a - действительная часть к.ч., обозначается Rez (Real),

bi - мнимая часть к.ч., обозначается Imz (Imaginary).

Например: ; ; .

Мнимая единица i , следовательно .

Числа вида bi, где b R называются мнимыми или чисто мнимыми.

Например: , , .

Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a =c и b = d (понятия >, < для комплексных чисел нет).

Комплексное число вида 0+0i называется нулевым комплексным числом.

Два комплексных числа вида a + bi и a – bi называются сопряжёнными, обозначаются .

Например: и .

Два комплексных числа вида a + bi и -a – bi называются противоположными.

Например: и .

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Выполнить задание №2 рабочего листа.

Ознакомить обучающихся с различными формами комплексных чисел (Слайд 9, 10)

2. Правила действия над комплексными числами в алгебраической форме (Слайды 11-15).

Рассмотрим правила действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение и вычитание комплексного числа выполняются как сложение и вычитание многочленов, т.е. раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые.

Примеры:

;

.

Умножение комплексного числа в алгебраической форме выполняется как умножение многочленов с последующей заменой на и приведением подобных слагаемых.

Пример:

Деление.

Чтобы выполнить деление комплексного числа нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю, выполнить действия и полученный в числителе результат почленно разделить на знаменатель.

Пример:

= = = = =

Заметим, что произведение поэтому в знаменателе результат будем находить сразу по этой формуле

3. Работа с рабочими листами.

3.1.Выполнить задания №3, №4, №5.

Выполнить сложение и вычитание комплексных чисел:

3.2. Выполнить задание №6 (Слайд 16)

VI. Обобщение и систематизация изученного материала.

Рефлексия: ответить на вопросы

• Какова тема и цель сегодняшнего занятия?
• Сегодня я узнал…
• Сегодня я повторил…
• Теперь я могу…
• Для меня было интересно…
• Я научился…
• Я смог(ла)…
• Я попробую…
• Для меня было легко (трудно)…
• Я своей работой доволен (не доволен) потому что…

VII. Подведение итогов занятия.

Выставление итоговых оценок.

VIII. Сообщение домашнего задания.

Тема: Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической формеТема: Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме№1№1 Расставь на кругах обозначения множеств р чисел и напиши названия этих множеств. N ̶ Z ̶Q ̶ R ̶C ̶ ̶№1 Расставь на кругах обозначения множеств р чисел и напиши названия этих множеств. N ̶ Z ̶Q ̶ R ̶C ̶ ̶№1Фамилия, Имя__________________ Группа_________Фамилия, Имя__________________ Группа_________ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задачОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач

Напиши основные понятия по теме комплексные числа. Например:Напиши основные понятия по теме комплексные числа. Например:№1№1Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами.Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами.z=a+ib ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа. z=a+ib ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа.

№2№2

z=a+bi ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа. z=a+bi ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа. Назови действительные и мнимые части записанных комплексных чиселНазови действительные и мнимые части записанных комплексных чиселНапиши основные понятияНапиши основные понятияПриведи примерыПриведи примеры называется ... называется ...bi называется...bi называется...0 +0i называется...0 +0i называется...a + bi и –a – bi называются...a + bi и –a – bi называются...a + bi и c + di, где a =c и b = d называются ...a + bi и c + di, где a =c и b = d называются ... ... ...a + bi и a – bi ( ) называются...a + bi и a – bi ( ) называются...i ̶ называется ...ii ̶ называется ...i

1. =Выполнить сложение и вычитание комплексных чисел:№32. = 3 = 4. = 5. = 6. = 7. =8. = 9= 10. =1. =Выполнить сложение и вычитание комплексных чисел:№32. = 3 = 4. = 5. = 6. = 7. =8. = 9= 10. =

8.

Название "мнимые числа" ввел Рене Декарт. В 1777 году Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимые) для обозначения мнимой единицы. Исторический факт!Название "мнимые числа" ввел Рене Декарт. В 1777 году Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимые) для обозначения мнимой единицы. Исторический факт!

5. = 5. = 4. = 4. = 3. = 3. =2. =2. =№4№4Выполни умножение комплексных чисел:Выполни умножение комплексных чисел: = =комплексного числа. комплексного числа. 5. = 5. =4. =4. =2. =2. = 3. = 3. =1 =1 =№5№5Выполни деление комплексных чисел:Выполни деление комплексных чисел:z=a+bi ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа. z=a+bi ̶ алгебраическая форма записи комплексного числа. Изначально было мнение, что комплексные числа появились при решении пытливыми умами математиков квадратных уравнений. Но на самом деле, комплексные числа появились еще в XVI веке, когда математики пытались решить кубические уравнения с отрицательными дискриминантами. Интересные факты! Изначально было мнение, что комплексные числа появились при решении пытливыми умами математиков квадратных уравнений. Но на самом деле, комплексные числа появились еще в XVI веке, когда математики пытались решить кубические уравнения с отрицательными дискриминантами. Интересные факты!

Выполни арифметические действия с комплексными числами. Расположи буквы в таблице в соответствии с ответами к примерам и прочитай зашифрованное слово. !ЛОЧНИТ Выполни арифметические действия с комплексными числами. Расположи буквы в таблице в соответствии с ответами к примерам и прочитай зашифрованное слово. !ЛОЧНИТ