Решение уравнений с модулями
Аннотация
Публикация содержит подробное решение уравнений с модулями, включая анализ нулей модуля и рассмотрение различных интервалов для переменной. Представлены примеры решения уравнений с использованием свойств модулей.
Решить уравнение:
- |5x – 3| + |3x – 5| = 9x – 10
Нули модуля:
5x – 3 = 0 3x – 5 = 0
5x = 3 3x = 5
X = 3/5 x = 1
– - + - + +
3/5 1 x
- X ( - ; 3/5 )
– ( 5x – 3 ) – ( 3x – 5) = 9x – 10
– 8x – 9x = - 10 – 8
-17x = - 18
X =1 – не подходит
- X [3/5; 5/3]
(5x – 3) – (3x – 5) = 9x – 10
5x – 3 – 3x + 5 = 9x – 10
-7x = - 12
X = 1
и
‹
- X ( ; + )
5x – 3 + 3x – 5 = 9x – 10
8x – 9x = - 10 + 8
- X = - 2
X = 2 Ответ: x = 2
- | x + 3 | + | 5 – 2 x| = 2 – 3 x
X + 3 = 0 - 2x = - 5
X = - 3 x = 2, 5
– + + + + -
-3 2,5
1) x (; - 3)
– ( x + 3) + (5 – 2x) = 2 – 3x
– x – 3 + 5 – 2x = 2 – 3x
– 3x + 3x = 2 – 2
0 = 0 – верное
2) х [- 3; 2,5]
X + 3 + 5 – 2x = 2 – 3x
2x = - 6
X = - 3 подходит
3) x ( 2,5; + )
X + 3 – 5 + 2x = 2 – 3x
3x + 3x = 2 + 2
6x = 4
X = не подходит
4)объединим полученные решения, запишем ответ.
Ответ: ( - ; -3]
Свойства модулей
- |а|+|b|=|a + b |
Данное равенство будет выполняться, если a и b одного знака. Это означает, что |а|+|b|=|a + b |равносильно неравенству
ab ≥ 0
Пример:
решить уравнение| sin x + cos x | + |sin – cos x| = 2 |sin x|
| sin x + cos x | + |sin – cos x| = |2 sin x|
| sin x + cos x | |sin – cos x|≥ 0
x - x ≥ 0
x – x) ≥0
cos 2 x ≤ 0
+ 2πn ≤ 2x + 2πn, n € Z
+ πn ≤ x ≤ + πn, n € Z
+ πn, n € Z ≤ x ≤ + πn, n € Z
- |а|+|b|=|a + b |‹=› ab ≥ 0
|a|+ |- b| = |a – b| ‹=› a x |- b| ≥ 0
ab ≤ 0
пример:
| =
b a
ab ≦ 0
( - ( x - - 2) ≦ 0
– = 0 или (x - - 2 ) = 0
= 0 x
x=0 x = 4
x = 1
+- +
01 4
Ответ: х € { 0 } v
- |а|+|b|=|a + b| ab ≥ 0
|a|- |b|=|a – b|‹=›
|a – b| + |b| = |a|
a b a+b
b (a-b) ≥ 0
Пример: |x-2| - |x-6| = 8
a b a-b
8 (x – 6) ≥ 0
x – 6 ≥ 0
x ≥ 6
Ответ: x ≥ 6
Хотите опубликовать свой материал?
Поделитесь своим опытом с коллегами и получите официальное свидетельство о публикации
Опубликовать статью