Формирование математического стиля мышления у учащихся 5-6 классов: Приемы и упражнения

Формирование математического стиля мышления у учащихся 5-6 классов: Приемы
и упражнения
Аннотация
В статье рассматривается проблема формирования математического стиля мышления
(МСМ) у школьников на этапе перехода из начальной школы в среднее звено.
Обосновывается важность развития таких качеств ума, как гибкость, глубина,
рациональность и лаконичность. Приводятся конкретные примеры фрагментов уроков с
методическим разбором упражнений. Особое внимание уделяется анализу типичных
трудностей, возникающих у учащихся 5-6 классов, и путям их преодоления.
Ключевые слова: математическое мышление, стиль мышления, среднее звено, методика
преподавания, развивающее обучение, эвристика.
Переход из начальной школы в 5-6 классы - это критический период, когда меняется не
только содержание предмета (появляются отрицательные числа, алгебраические
выражения, геометрия), но и требования к способу усвоения материала. Если в младших
классах доминировало наглядно-образное мышление, то в среднем звене требуется
переход к абстрактно-логическому.
Под математическим стилем мышления (МСМ) мы понимаем совокупность
мыслительных операций и устойчивых привычек, характерных для математической
деятельности. Основываясь на работах А.Я. Хинчина, Д. Пойа и современных дидактов
(Л.М. Фридман, Г.И. Саранцев), можно выделить следующие компоненты МСМ:

1. Дедуктивный характер: умение выводить следствия из общих посылок.
2. Лаконизм (свернутость): способность мыслить «крупными блоками», сворачивать
рассуждения.
3. Гибкость: умение переключаться с одного способа решения на другой, видеть несколько
путей.
4. Рациональность: стремление найти наиболее экономный и изящный путь решения.
5. Алгоритмичность: четкое следование логике шагов.
6. Критичность: умение проверять и оценивать свои и чужие выводы.
Формирование этих качеств в 5-6 классах должно происходить не стихийно, а через
систему специальных приемов (сравнение, обобщение, аналогия, «свертывание»
информации) и упражнений (задачи на смекалку, логические задачи, задачи с
недостающими данными).
Ниже представлены несколько фрагментов уроков для 5 и 6 классов, направленные на
развитие различных компонентов МСМ.
Развитие гибкости и рациональности (5 класс)
Тема: Сложение и вычитание натуральных чисел.
Тип упражнения: Устный счет с элементами поиска «красивого» решения.
Фрагмент урока:
Учитель: «Ребята, вычислите сумму: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100».
Ученики (обычно): начинают складывать последовательно (1+2=3, +3=6...), тратят время,
путаются.
Учитель: «Подождите. Посмотрите на ряд чисел внимательно. Что общего у 1 и 100? А у
2 и 99?»
Ученик: «Их сумма равна 101».
Учитель: «А сколько таких пар?»
Ученик: «50 пар».
Учитель: «Значит, результат?»
Ученик: «101 умножить на 50... 5050!»
Что именно развивает упражнение:

 Гибкость мышления: отказ от шаблонного последовательного сложения в пользу
поиска закономерности.
 Рациональность: нахождение экономного пути (умножение вместо 100
сложений).
 Наблюдательность: умение видеть симметрию в числовом ряду.
 Индукция: переход от частного наблюдения к общему правилу.
Развитие дедукции и алгоритмичности (6 класс)
Тема: Признаки делимости.
Тип упражнения: Логическая задача на доказательство.
Фрагмент урока:
Учитель: «Число а делится на 6. Делится ли оно на 3? На 2? На 12?»
Ученики: «На 3 и на 2 — да. На 12 — не знаем».
Учитель: «Давайте рассуждать. Если а делится на 6, значит, а = 6 * n. Как записать 6
через 2 и 3?»
Ученик: «6 = 2 * 3. Значит, а = 2 * 3 * n».
Учитель: «Отсюда следует, что а делится на 2?»
Ученик: «Да, так как есть множитель 2».
Учитель: «А на 12?»
Ученик: «Не обязательно. Например, 6 делится на 6, но не делится на 12».
Что именно развивает упражнение:

 Дедукция: движение от общего условия к частным следствиям.
 Критичность: проверка утверждения «если А, то Б» через поиск контрпримера (число 6).
 Алгоритмичность: запись условия в виде формулы (6n) для наглядного анализа.
 Логическая грамотность: понимание разницы между «необходимым» и «достаточным»
условием (на уровне пропедевтики).
Развитие лаконизма и абстрагирования (6 класс)
Тема: Решение текстовых задач на движение.
Тип упражнения: Составление схемы и «свертывание» текста.
Фрагмент урока:
Учитель: «Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно
навстречу ему из В вышел велосипедист со скоростью 15 км/ч. Расстояние между
пунктами 40 км. Через сколько часов они встретятся?»
Учитель: «Не пишите решение. Нарисуйте схему и составьте краткую запись условия в
виде таблицы или формулы».
Ученики рисуют: → (5 км/ч) ... 40 км ... (15 км/ч) ←.
Учитель: «Какую формулу мы можем записать, глядя на схему?»
Ученик: «S = V * t. Но у нас две скорости. V сближения = 5 + 15 = 20. t = 40 : 20 = 2».
Учитель: «Запишите это одним выражением: 40 : (5 + 15)».
Что именно развивает упражнение:

 Абстрагирование: перевод текста в знаково-символическую модель (схема, формула).
 Лаконизм: замена громоздкого текста короткой формулой.
 Структурирование: выделение главного (скорость сближения) и отбрасывание
второстепенного.
 Свертывание информации: умение удерживать в голове всю задачу в виде одной
строки.
Трудности и пути их преодоления
Формирование МСМ в 5-6 классах сопряжено с рядом объективных и субъективных
трудностей. Рассмотрим основные из них и способы их решения.
Первая трудность - «клиповое» мышление. Современные школьники привыкли к
быстрой смене информации, коротким форматам и мгновенной обратной связи. Это
приводит к тому, что учащиеся не умеют удерживать длинную логическую цепь
рассуждений, теряют нить доказательства на третьем-четвертом шаге. Преодолеть это
помогает использование так называемых «задач-цепочек», когда решение разбивается на
последовательные шаги с обязательным проговариванием каждого этапа вслух. Кроме
того, эффективен прием «бортового журнала»: ученик записывает все шаги рассуждения,
что позволяет ему видеть логику целиком и возвращаться к нужному этапу при
затруднении.
Вторая трудность - боязнь абстракции. В начальной школе обучение строилось
преимущественно на наглядном материале, конкретных предметах и рисунках. При
переходе в 5-6 классы появляются буквенные обозначения, формулы, алгебраические
выражения, которые вызывают у детей психологический барьер. Для преодоления этого
барьера необходима пропедевтика алгебры в игровой форме: «зашифровываем» известные
числа буквами, играем в «математических детективов», где нужно найти неизвестное.
Важно постепенно и ненавязчиво показывать, что буква - это не страшно, а удобно, что
она экономит время и позволяет записать общее правило для множества случаев.
Третья трудность - стереотипность мышления. У учащихся формируется установка на
единственный правильный способ решения - чаще всего тот, который показал учитель.
Это блокирует развитие гибкости и рациональности. Преодоление требует регулярного
включения в урок вопросов: «А как еще можно решить эту задачу?», «Какой способ
быстрее и почему?», «Есть ли более короткий путь?». Необходимо поощрять
нестандартные решения, даже если они не привели к ответу, - важен сам поиск. Полезно
предлагать задачи с несколькими способами решения и устраивать «аукционы идей».
Четвертая трудность - неумение работать с текстом задачи. Многие пятиклассники не
владеют навыком смыслового чтения: они читают условие, но не понимают, что дано и
что требуется найти. Это связано с недостаточным развитием произвольного внимания и
анализа. Здесь помогает обязательное составление краткой записи, схем, чертежей. Прием
«Читаю - рисую» заключается в том, что при каждом прочтении условия ученик делает
пометки или зарисовки. Перевод задачи в табличный вид также структурирует
информацию и делает ее наглядной.
Пятая трудность - низкая мотивация. Однотипные примеры и абстрактные задачи не
вызывают интереса у современных детей. Они не видят практической ценности
математики. Для повышения мотивации необходимо включать элементы истории
математики (как решали задачи в древности), задачи на смекалку и логику, а также
практико-ориентированные сюжеты: расчет покупок в магазине, планирование ремонта,
распределение бюджета. Когда ученик видит, что математика - это инструмент для
реальной жизни, его отношение к предмету меняется.
Помимо перечисленных конкретных путей преодоления трудностей, существуют общие
методические рекомендации, соблюдение которых необходимо для успешного
формирования математического стиля мышления.
Прежде всего, важна системность. Упражнения на развитие МСМ должны быть не
разовыми акциями, а ежеурочной практикой. Достаточно выделять 5-7 минут в начале или
конце урока для «гимнастики ума».
Во-вторых, необходима диалогичность. Учитель должен использовать эвристическую
беседу, а не давать готовый ответ. Ведение к решению через систему вопросов развивает
самостоятельность мышления и учит детей рассуждать.
В-третьих, обязательна рефлексия. Постоянный вопрос «Что мы сейчас сделали? Как мы
думали? Почему выбрали этот путь?» делает мышление осознанным, а не стихийным.
Ученик начинает понимать свои мыслительные стратегии.
Наконец, следует относиться к ошибке как к ресурсу. Анализ неверных решений, поиск
«ловушек» в задачах, обсуждение того, почему получился неправильный ответ, развивает
критичность и внимательность. Ошибка - это не провал, а точка роста.
Таким образом, преодоление трудностей формирования математического стиля мышления
требует от учителя терпения, методической гибкости и постоянной ориентации на зону
ближайшего развития ученика. Комплексный подход, сочетающий специальные
упражнения, эвристические беседы и работу над ошибками, позволяет постепенно
превратить хаотичные мыслительные операции в стройную систему, характерную для
математического стиля мышления.

Основные методические рекомендации:

1. Системность: упражнения на МСМ должны быть не разовыми, а ежеурочными (по 5-7
минут).
2. Диалогичность: использование эвристической беседы (не давать готовый ответ, а вести к
нему вопросами).
3. Рефлексия: постоянный вопрос «Что мы сейчас сделали? Как мы думали?» - это делает
мышление осознанным.
4. Ошибка как ресурс: анализ неверных решений (поиск «ловушек») развивает
критичность.
Заключение
Формирование математического стиля мышления в 5-6 классах - это не просто подготовка
к экзаменам, а фундаментальная задача развития интеллекта ребенка. Использование
приемов сравнения, обобщения, свертывания информации и специальных упражнений
позволяет превратить урок математики в «гимнастику для ума». Преодоление трудностей
требует от учителя терпения, методической гибкости и постоянной ориентации на зону
ближайшего развития ученика. В результате учащиеся не только лучше усваивают
предмет, но и приобретают универсальные навыки, необходимые для жизни в XXI веке.