Использование цифровых инструментов для развития математического мышления: визуализационный эксперимент с динамическими материалами GeoGebra при исследовании функций в 8-9 классах

Использование цифровых инструментов для развития математического мышления:
визуализационный эксперимент с динамическими материалами GeoGebra при
исследовании функций в 8-9 классах

Теоретическое содержание математического эксперимента
В традиционном обучении функциям учащиеся имеют дело со статичными выражениями
и уже построенными графиками. Им сообщают, что «y=2x+1 - это прямая», но у них редко
есть возможность спросить: почему при изменении коэффициента 2 меняется наклон
прямой? Почему при изменении константы 1 прямая сдвигается вверх или вниз?
Математический эксперимент (Experimental Mathematics, EM) предлагает иной
эпистемологический путь. Как обобщает Borwein, компьютерный математический
эксперимент обладает следующими характеристиками: получение инсайта и интуиции,
обнаружение новых соотношений, визуализация математических принципов, проверка и
опровержение гипотез, исследование того, заслуживает ли результат формального
доказательства. Эти функции - не «вспомогательное украшение» математики, а сам способ
функционирования математического мышления.
Теория «человек-с-медиа» (humans-with-media), предложенная Borba и Villarreal,
развивает эту мысль: знание никогда не конструируется человеком в одиночку, оно
производится коллективно - человеком и интеллектуальными технологиями. Разные
медиа по-разному реорганизуют математическое мышление. Когда учащийся работает с
бумагой и ручкой, функция застывает в виде знакового выражения; когда он работает с
GeoGebra, функция становится динамическим объектом, который можно «перетаскивать,
изменять, экспериментировать с ним». Это не различие в удобстве, а качественное
изменение познания.
Ковариационное рассуждение: ядро функционального мышления
Framework ковариационного рассуждения (covariational reasoning), предложенный Carlson
и коллегами, даёт ключевой взгляд на понимание познавательных процессов при изучении
функций. Ковариационное рассуждение - это способность координировать отношения
между двумя переменными, воображая их одновременное изменение. Например, когда x
возрастает от 1 до 2, как изменяется y? Скорость изменения равномерна или ускоряется?
Именно это мышление, «одновременно отслеживающее две величины», труднее всего
формируется при традиционном статичном обучении.
Динамические материалы GeoGebra создают естественную среду для поддержки
ковариационного рассуждения. Когда ученик перетаскивает ползунок, изменяя значение
параметра a, парабола y=ax² мгновенно меняет направление и ширину раскрытия; когда
ученик управляет точкой на окружности, изменение значения синуса можно
одновременно наблюдать и в графическом, и в числовом виде. Эта мгновенность
«управление - обратная связь» превращает ковариационные отношения из абстрактного
описания в ощутимый опыт.
Эмпирические данные об эффективности GeoGebra при исследовании функций
Влияние на понимание понятий
Докторская диссертация Pihlap специально исследовала влияние динамических
геометрических программ GeoGebra на изучение функций младшими школьниками.
Выводы представляют интерес: при использовании GeoGebra в сочетании с
традиционным обучением изучение математики становилось «более интересным и
приятным»; многие учащиеся сообщали, что GeoGebra помогает им лучше понимать
содержание курса и «легче связывать уравнение функции с его графическим
представлением». Хотя стандартизированные тесты не всегда показывали более высокие
баллы, учащиеся, использовавшие GeoGebra, демонстрировали более глубокое понимание
функций.
Это наблюдение заслуживает размышления. Напряжение между «более глубоким
пониманием» и «более высокими экзаменационными баллами» как раз отражает
несоответствие между существующей системой оценивания и новыми способами
обучения. Но с точки зрения долгосрочного развития математического мышления
способность «видеть», как изображение реагирует на изменение a, установление этой
визуально-алгебраической связи не может быть заменена формальным запоминанием.
Содействие ковариационному рассуждению
Исследование Martínez-Sierra и Villadiego-Franco, использовавшее метод дизайн-
ориентированного исследования, рассмотрело процесс развития ковариационного
рассуждения о синусе и косинусе у старшеклассников при работе с апплетом GeoGebra
(симуляция движения колеса обозрения). Вывод однозначен: визуализация и управление
симуляцией движения колеса обозрения в сочетании с измерительными инструментами
способствовали развитию ковариационного рассуждения учащихся о функциях синуса и
косинуса, причём до уровня «плавного непрерывного» рассуждения.
Изящество ситуации с колесом обозрения состоит в том, что изменение высоты со
временем для учащихся непосредственно ощутимо («поднялся наверх», «опускается»), но
для преобразования этого в соотношение синусоидальной функции необходимо
вмешательство ковариационного рассуждения. Динамическая симуляция GeoGebra строит
мост между «телесным опытом» и «математической формой».
Необходимость учитывать ограничения
Не все исследования дают безусловно положительные выводы. Сравнительный
эксперимент Mollakuqe и Mollakuqe показал, что в группе с GeoGebra результаты
посттеста по изучению геометрических свойств окружности улучшились на 46,6%, в
контрольной группе - на 23,3%, разница статистически значима (p=0,002). Однако
исследователи также отмечают, что эффект технологических инструментов в
значительной степени зависит от уровня подготовки учителей и способа интеграции.
Исследование Brown и коллег также подчёркивает, что учителя без достаточной
подготовки могут испытывать трудности с эффективной интеграцией GeoGebra, и её
потенциальные преимущества остаются ограниченными.
Практические пути: три уровня исследования функций в GeoGebra
Уровень первый: управление параметрами - формирование визуальной интуиции связи
«коэффициент - график»
Проектирование деятельности (8 класс): В GeoGebra создаются ползунки a и b,
вводится функция f(x)=ax+b. Учащиеся перетаскивают a и b, наблюдая за изменениями
прямой.
Направляющие вопросы: «Когда a увеличивается, линия становится круче или более
пологой?» «Когда изменяется b, прямая поворачивается или смещается?» «Существует ли
такое изменение, при котором прямая проходит через начало координат?»
Развитие мышления: Ядро этого уровня - установление непосредственной связи между
параметрами и формулами графика. Учащимся не нужно вычислять, чтобы «знать», что a
влияет на наклон, - они «видят» это влияние через визуальную обратную связь. Это
создаёт эмпирическую основу для последующего формального понимания («a - это
угловой коэффициент»). Как подчёркивают Borba и коллеги, смысл такого
«эксперимента» - в содействии развитию «эвристического мышления»: формирование
гипотез, проверка предположений, корректировка понимания.
Уровень второй: отслеживание траектории - визуализация «изменения»
Проектирование деятельности (9 класс): В GeoGebra точка P движется по единичной
окружности, отслеживается траектория изменения её ординаты в зависимости от угла,
одновременно отображается график функции синуса.
Направляющие вопросы: «Когда P вращается быстро, значение синуса изменяется
быстро или медленно?» «В каких положениях на окружности изменение значения синуса
„останавливается“?» «Почему график в highest и lowest точках плоский?»
Развитие мышления: Отслеживание траектории превращает «ковариацию» из скрытой
мыслительной операции в видимое геометрическое явление. Учащиеся видят реальное
соответствие между вращением точки на окружности и процессом «вычерчивания»
синусоиды. Это типичное проявление «плавного непрерывного ковариационного
рассуждения», описанного в framework Carlson: учащиеся способны воображать
одновременное изменение двух переменных и отслеживать динамические отношения
между ними.
Уровень третий: гипотеза и проверка - от эксперимента к рассуждению
Проектирование деятельности (9 класс): Учащиеся используют GeoGebra для
исследования квадратичной функции общего вида f(x)=ax²+bx+c. Задача: не прибегая к
вычислениям, только управляя ползунками, ответить на вопрос «какими параметрами
определяется положение вершины параболы?»
Процесс руководства: Учащиеся сначала свободно экспериментируют, формируют
гипотезы («c определяет высоту вершины?» «Нет, c - это только точка пересечения с осью
y»). Затем проектируют эксперименты для проверки или опровержения гипотез. Функция
«траектория» и инструменты «измерения» в GeoGebra позволяют учащимся точно
фиксировать координаты вершины при различных комбинациях параметров.
Развитие мышления: Ключ этого уровня - переход от «эксперимента» к
«доказательству». Borwein указывает, что важная функция математического эксперимента
- «проверка и опровержение гипотез» и «исследование того, заслуживает ли результат
формального доказательства». Когда учащиеся через множество экспериментов
обнаруживают, что «абсцисса вершины, по-видимому, всегда равна -b/(2a)», эта
индуктивная гипотеза получает внутреннюю мотивацию для перехода к алгебраической
проверке. GeoGebra здесь выступает не «генератором ответов», а «генератором гипотез».
Трудности и пути их преодоления: вызовы реальности
Трудность первая: «декоративное» использование технологии
Наиболее распространённый сценарий неудачи: учитель демонстрирует красивую
анимацию в GeoGebra, ученики говорят «вау», и затем всё идёт как обычно. Borba и
Villarreal предупреждали об опасности такой «одомашнивания технологии» (domestication
of technology) - новая технология используется для того, что уже умели делать старые
медиа, только быстрее и красивее.
Путь преодоления: Ключ - в проектировании заданий, а не в самой технологии.
Эффективная деятельность с GeoGebra должна включать «открытое контролируемое
исследование»: цель ясна (например, «найти факторы, определяющие положение
вершины»), но путь открыт (учащиеся свободно пробуют различные способы
управления). Роль учителя - не демонстрация, а постановка вопросов «а что, если…?»,
направляющих учащихся к самостоятельным открытиям.
Трудность вторая: разрыв между «увидеть» и «понять»
Исследования показывают, что учащиеся могут увлечься «игровым ощущением» от
перетаскивания ползунков, не связывая визуальные изменения с математическим
смыслом. Увидеть, что парабола стала уже, не равно пониманию того, что «увеличение
абсолютного значения a приводит к уменьшению раскрытия».
Путь преодоления: Необходима «инструментальная оркестровка» (instrumental
orchestration) со стороны учителя - целенаправленная организация классной дискуссии,
направляющей экспериментальный опыт учащихся к математическому языку. Например,
после управления ползунками учащимся предлагается «описать математическим языком
то, что вы только что наблюдали». Исследование Pihlap показывает, что наилучший
эффект достигается при сочетании GeoGebra с «традиционным обучением». Чисто
«исследовательский урок» без последующего формального обсуждения может остаться на
эмпирическом уровне.
Трудность третья: недостаточная подготовка учителей
Многие учителя математики сами никогда не изучали функции «экспериментальным»
способом. Они знакомы с моделью «объяснение - тренировка» и, сталкиваясь с GeoGebra,
склонны использовать её как «инструмент демонстрации», а не «инструмент
исследования». Исследование Naftaliev указывает, что учитель должен сначала «сам
пережить этот процесс обучения», чтобы затем вести за собой учащихся.
Путь преодоления: Системное профессиональное развитие учителей должно провести их
через три роли: «учащийся - проектировщик - преподаватель». В исследовании Pihlap в
Финляндии подготовка учителей включала не только освоение программного
обеспечения, но и обсуждение вопросов «какие типы заданий подходят для
динамического исследования» и «как организовать классный диалог, чтобы
экспериментальный опыт превратился в математическое понимание».
Трудность четвёртая: цифровое неравенство и аппаратные ограничения
Хотя GeoGebra - бесплатное программное обеспечение с открытым кодом, условия
доступа учащихся неравны. Учащиеся из семей с низким социально-экономическим
статусом могут не иметь надёжных устройств или подключения к интернету. Кроме того,
трудности с расписанием компьютерных классов и обслуживанием оборудования широко
распространены в реальности.
Путь преодоления: Краткосрочные стратегии включают: использование мобильной
версии GeoGebra (менее требовательной к устройствам), проектирование смешанного
режима «демонстрация учителем + поочерёдная работа учащихся», предоставление
времени открытого доступа к компьютерному классу после уроков. В долгосрочной
перспективе это требует планирования ресурсов на уровне школы, а не решения
отдельного учителя.
Заключение
Ценность GeoGebra в обучении функциям в 8-9 классах в конечном счёте состоит не в
самом выражении «использование технологии для обучения математике», а в том, что она
переопределяет отношения учащихся с функцией. В традиционном классе функция - это
заданный объект: учитель даёт выражение, ученик строит график, затем тренируется. В
динамической среде GeoGebra функция становится объектом, который можно
«расспрашивать»: что будет, если я изменю этот параметр? Если я заставлю эту точку
двигаться, как отреагирует та величина?
Этот переход от «принятия данного» к «активному исследованию» как раз и есть
ключевой шаг в развитии математического мышления. Сама технология не гарантирует
этого шага - плохое проектирование заданий, недостаточно подготовленный учитель,
декоративное использование могут превратить GeoGebra в дорогой проектор. Но когда
динамические материалы встроены в исследовательски ориентированный учебный
дизайн, они действительно предоставляют учащимся осуществимый путь от «видеть
изменение» к «думать об отношениях».